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已知在正整數數列{an}中,前n項和Sn滿足:Sn=(an+2)2,

(1)求證:{an}是等差數列;

(2)若bn=an-30,求數列{bn}的前n項和的最小值.

(1)證明:由Sn=(an+2)2,         ①

    則Sn-1=(an-1+2)2.           ②

    當n≥2時,an=Sn-Sn-1=(an+2)2-(an-1+2)2,

    整理得(an+an-1)(an-an-1-4)=0.

∴an-an-1=4,即{an}為等差數列.

(2)解:∵S1=(a1+2)2,

∴a1=(a1+2)2,解得a1=2.

∴bn=an-30=［a1+4(n-1)］-30=2n-31.

    令bn＜0,得n＜.

∴S15為前n項和的最小值,

S15=b1+b2+…+b15=2(1+2+…+15)-15×31=-225.


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知點（n，an）（n∈N*）在函數f（x）=-6x-2的圖象上，數列{an}的前n項和為Sn．
（Ⅰ）求Sn；
（Ⅱ）設cn=an+8n+3，數列{dn}滿足d1=c1，dn+1=cdn（n∈N*）．求數列{dn}的通項公式；
（Ⅲ）設g（x）是定義在正整數集上的函數，對于任意的正整數x1、x2，恒有g（x1x2）=x1g（x2）+x2g（x1）成立，且g（2）=a（a為常數，且a≠0），記bn=
g(
dn+1
2
)
dn+1
，試判斷數列{bn}是否為等差數列，并說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知點（n，an）（n∈N*）在函數f（x）=-2x-2的圖象上，數列{an}的前n項和為Sn，數列{bn}的前n項和為Tn，且Tn是6Sn與8n的等差中項．
（1）求數列{bn}的通項公式；
（2）設cn=bn+8n+3，數列{dn}滿足d1=c1，dn+1=cdn（n∈N*）．求數列{dn}的前n項和Dn；
（3）設g（x）是定義在正整數集上的函數，對于任意的正整數x1，x2，恒有g（x1x2）=x1g（x2）+x2g（x1）成立，且g（2）=a（a為常數，a≠0），試判斷數列{
g(
dn+1
2
)
dn+1
}是否為等差數列，并說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設C1，C2，…，Cn，…是坐標平面上的一列圓，它們的圓心都在x軸的正半軸上，且都與直線y=
3
3
x相切，對每一個正整數n，圓Cn都與圓Cn+1相互外切，以rn表示Cn的半徑，以（λn，0）表示Cn的圓心，已知{rn}為遞增數列．
（1）證明{rn}為等比數列（提示：
rn
λn
=sinθ，其中θ為直線y=
3
3
x的傾斜角）；
（2）設r1=1，求數列{
n
rn
}的前n項和Sn；
（3）在（2）的條件下，若對任意的正整數n恒有不等式Sn＞
9
4
-
an
rn
成立，求實數a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知正整數數列{an}中，a1=3，且對于任意大于1的整數n，點(
an
，
an-1
)總在直線x-y-
3
=0上，則
lim
n→+∞
an
(n+1)2
=（　�。�

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科目：高中數學 來源：2009-2010學年北京市東城區普通校高三（下）3月聯考數學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知點（n，an）（n∈N*）在函數f（x）=-2x-2的圖象上，數列{an}的前n項和為Sn，數列{bn}的前n項和為Tn，且Tn是6Sn與8n的等差中項．
（1）求數列{bn}的通項公式；
（2）設cn=bn+8n+3，數列{dn}滿足d1=c1，（n∈N*）．求數列{dn}的前n項和Dn；
（3）設g（x）是定義在正整數集上的函數，對于任意的正整數x1，x2，恒有g（x1x2）=x1g（x2）+x2g（x1）成立，且g（2）=a（a為常數，a≠0），試判斷數列是否為等差數列，并說明理由．

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