Question

(2009湖南卷理)（本小題滿分13分）

在平面直角坐標系xOy中，點P到點F（3，0）的距離的4倍與它到直線x=2的距離的3倍之和記為d，當P點運動時，d恒等于點P的橫坐標與18之和           

 （Ⅰ）求點P的軌跡C；

 （Ⅱ）設過點F的直線I與軌跡C相交于M，N兩點，求線段MN長度的最大值。

Answer 1

 解析：（Ⅰ）設點P的坐標為（x，y），則3x-2

由題設

當x>2時，由①得

  化簡得 

當時  由①得

  化簡得                        

故點P的軌跡C是橢圓在直線x=2的右側部分與拋物線在直線x=2的左側部分（包括它與直線x=2的交點）所組成的曲線，參見圖1

（Ⅱ）如圖2所示，易知直線x=2與，的交點都是A（2，），

B（2，），直線AF，BF的斜率分別為=，=.

當點P在上時，由②知

.                 ④

當點P在上時，由③知           

                   ⑤

若直線l的斜率k存在，則直線l的方程為

（i）當k≤，或k≥，即k≤-2 時，直線I與軌跡C的兩個交點M（，），N（，）都在C 上，此時由④知

MF= 6 -     NF= 6 -             

從而MN= MF+ NF= （6 - ）+ （6 - ）=12 - ( +)

由 得 則，是這個方程的兩根，所以+=*MN=12 - （+）=12 -

因為當

                  

當且僅當時，等號成立。

（2）當時，直線L與軌跡C的兩個交點 分別在上，不妨設點在上，點上，則④⑤知，

   設直線AF與橢圓的另一交點為E

      

   所以。而點A，E都在上，且

   有（1）知            

若直線的斜率不存在，則==3，此時

綜上所述，線段MN長度的最大值為