Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面為菱形且∠ABC=120°，PA⊥底面ABCD，AB=1，
PA=

3

，E為PC的中點．
（1）求直線DE與平面PAC所成角的大��；
（2）在線段PC上是否存在一點M，使PC⊥平面MBD成立．如果存在，求出MC的長；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）連AC、BD，由已知中PA⊥底面ABCD，結合面面垂直的判定定理可得平面PAC⊥底面ABCD，進而再由面面垂直的性質得DO⊥平面PAC．連OE，則∠DEO即為DE與平面PAC所成的角，解三角形DEO即可得到直線DE與平面PAC所成角的大��；
（2）設AC∩BD=O，過O作OM⊥PC于M，結合已知中PA⊥底面ABCD，可得BD⊥PC，OM⊥PC，結合線面垂直的判定定理，可得此時PC⊥平面MBD成立．

解答：解：（1）如圖，連AC、BD，則由PA⊥底面ABCD，得平面PAC⊥底面ABCD于AC，
又由底面ABCD為菱形可得BD⊥AC于O，∴DO⊥平面PAC．
連OE，則OE為DE在平面PAC上的射影，∴∠DEO即為DE與平面PAC所成的角．
由E為PC的中點可得EO=

1

2

PA=

3

2

．
又由菱形的性質可得，在Rt△AOD中，
∠ADO=60°，AD=1，∴DO=

1

2

．
∴在Rt△DEO中，tan∠DEO=

DO

EO

=

3

3

，
∴∠DEO=30°．
（2）設AC∩BD=O，過O作OM⊥PC于M，
則由PA⊥底面ABCD可得
平面PAC⊥底面ABCD于AC．
又BD⊥AC，BD?底面ABCD，
∴BD⊥平面PAC，
∴BD⊥PC，
而由OM?平面PAC且OM⊥PC
可得PC⊥平面MBD．
故在線段PC上是存在一點M，使PC⊥平面MBD成立．
此時OM∥AE，且OM=

1

2

AE=

1

4

PC=

6

4

點評：本題考查的知識點是直線與平面所成的角，直線與平面垂直的性質，其中熟練掌握直線與平面夾角的定義，及空間線線、線面垂直關系之間的互相轉化是解答本題的關鍵．