Question

（05年全國卷Ⅰ）（14分）

已知橢圓的中心為坐標原點O，焦點在軸上，斜率為1且過橢圓右焦點F的直線交橢圓于A、B兩點，與共線。

（Ⅰ）求橢圓的離心率；

（Ⅱ）設M為橢圓上任意一點，且，證明為定值。

Answer 1

解析：（1）解：設橢圓方程為

則直線AB的方程為，代入，化簡得

.

令A（），B），則

由與共線，得

又，

即，所以，

故離心率

（II）證明：（1）知，所以橢圓可化為

設，由已知得

 在橢圓上，

即①

由（1）知

又，代入①得

故為定值，定值為1.