Question

某工廠生產一種機器的固定成本（即固定投入）為0.5萬元，但每生產一百臺，需要新增加投入2.5萬元．經調查，市場一年對此產品的需求量為500臺；銷售收入為R（t）=6t-

1

2

t²（萬元），（0＜t≤5），其中t是產品售出的數量（單位：百臺）．
（說明：①利潤=銷售收入-成本；②產量高于500臺時，會產生庫存，庫存產品不計于年利潤．）
（1）把年利潤y表示為年產量x（x＞0）的函數；
（2）當年產量為多少時，工廠所獲得年利潤最大？

Answer 1

分析：（1）利潤函數y=銷售收入函數R（x）-成本函數，討論x的大小，利用分段函數表示出年利潤y表示為年產量x（x＞0）的函數；
（2）由利潤函數是分段函數，分段求出最大值，利用二次函數的性質求出函數取最大值時對應的自變量x的值，比較兩段的最大值即可求出所求．

解答：解：（1）當0＜x≤5時
f（x）=6x-

1

2

x²-0.5-2.5x
=-

1

2

x²+3.5x-0.5（3分）
當x＞5時
f（x）=6×5-

1

2

×5²-0.5-2.5x=17-2.5x（5分）
即f（x）=

-0.5x2+3.5x-0.5(0＜x≤5) 17-2.5x(x＞5)

（6分）
（2）當0＜x≤5時
f（x）=-

1

2

（x²-7x+1）=-

1

2

（x-

7

2

）²+

45

8

（9分）
∴當x=3.5∈（0，5]時，f（x）_max=

45

8

=5.625
當x＞5時，f（x）為（5，+∞）上的減函數
f（x）＜f（5）=17-2.5×5=4.5
又5.625＞4.5（11分）
∴f（x）_max=f（3.5）=5.625
故當年產量為350臺時，工廠所獲年利潤最大．（12分）

點評：本題主要考查了函數模型的選擇與應用，以及利用二次函數性質求最值，同時考查了分類討論的數學思想，屬于中檔題．