Question

已知函數f（x）=ax-1-lnx（a∈R）
①當a=

1

2

時，求函數在[1，e]上的最大值和最小值；
②討論函數的單調性；
③若函數f（x）在x=1處取得極值，不等式f（x）≥bx-2對?x∈（0，+∞）恒成立，求實數b的取值范圍．

Answer 1

分析：①當a=

1

2

時f（x）=

1

2

x-1-lnx，然后求導利用導數求函數的極值，然后與區間端點的函數值進行比較，從而可求出函數的最大值和最小值；
②求函數的導數，通過討論參數的取值，令f'（x）＞0，可求出函數的增區間，令f'（x）＜0，從而確定函數的單調減區間；
③利用函數在x=1處取得極值，建立方程求的a，然后把不等式轉化為最值恒成立，然后利用導數求最值．

解答：解：①當a=

1

2

時f（x）=

1

2

x-1-lnx，f′(x)=

1

2

-

1

x

，由f′(x)=

1

2

-

1

x

=0，得x=2．
當x＞2時，f'（x）＞0，當0＜x＜2時，f'（x）＜0．因為x∈[1，e]，所以f（x）_極小值=f（x）_min=f（2）=-ln2
又f(1)=-

1

2

，f(e)=

e

2

-2=

e-4

2

＜-

1

2

，所以函數在[1，e]上的最大值是-

1

2

，最小值是-ln2．
②f′(x)=a-

1

x

=

ax-1

x

(x＞0)
當a＞0時，令f'（x）＞0，得x＞

1

a

，由f'（x）＜0得x＜

1

a

，所以f（x）在（0，

1

a

）上單調遞減．在（

1

a

，+∞）上單調遞增．
當a=0時，f'（x）=-

1

x

＜0恒成立．所以f（x）在（0，+∞）為減函數
當a＜0時，f'（x）=

ax-1

x

＜0恒成立，所以f（x）在（0，+∞）單調遞減．
綜上，當a＞0時，f（x）在（0，

1

a

）上單調遞減，在(

1

a

，+∞)單調遞增，
當a≤0時，f（x）在（0，+∞）單調遞減
③f′(x)=a-

1

x

，依題意：f'（1）=a-1=0，a=1，所以f（x）=x-1-lnx
又f（x）≥bx-2對?x∈（0，+∞）恒成立恒成立．
即x-1-lnx≥bx-2，所以b≤

1

x

+1-

ln?x

x

在x∈（0，+∞]上恒成立
令g(x)=

1-lnx

x

+1，x＞0，則g′(x)=

-2+ln?x

x2

當0＜x＜e²時，g'（x）＜0．當x＞e²時，g'（x）＞0，
所以當x=e²時，g(e2)min=1-

1

e2

，所以b≤1-

1

e2

．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性以及求函數的最大值和最小值問題，以及對于不等式恒成立問題，解決不等式恒成立問題的常用方法是轉化為最值恒成立．