Question

【題目】三棱柱中，側棱與底面垂直，，，分別是的中點.

（1）求證：平面；

（2）求證：平面；

（3）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】⑴見解析⑵見解析 ⑶

【解析】

試題（1）證明線面平行，一般利用線面平行判定定理，即從線線平行出發給予證明，而線線平行的尋找與論證往往需要利用平幾知識，如本題就利用三角形中位線定理得（2）利用空間向量證明線面垂直，實際就是以算代證，即先求平面的一個法向量，再利用與法向量關系關系求證（3）求二面角的大小，一般利用空間向量的數量積求解，先建立恰當的空間直角坐標系，設立各點坐標，利用方程組解出各面的法向量，利用向量數量積求法向量的夾角余弦值，最后根據二面角與法向量夾角之間關系求值.

試題解析：（1）連接，，

在中，∵是中點，∴，

又∵平面，

∴平面.

（2）如圖，以為原點建立空間直角坐標系.

則，，，，，

，，.

設平面的法向量，

，

令，則，，∴，∴，

∴平面.

（3）設平面的法向量為，，

，

令，則，，

∴，

∴，

所求二面角的余弦值為.