Question

(2005湖南，20)自然狀態下的魚類是一種可再生的資源，為持續利用這一資源，需從宏觀上考察其再生能力和捕撈強度對魚群總量的影響，用表示某魚群在第n年年初的總量，，且，不考慮其他因素，設在第n年內魚群的繁殖量及被捕撈量都與成正比，死亡量與成正比，這些比例系數依次為正常數a、b、c．

(1)求與的關系式；

(2)猜測：當且僅當、a、b、c滿足什么條件時，每年年初魚群的總量保持不變?(不要求證明)

(3)設a=2，c=1，為保證對任意，都有，，則捕撈強度b的最大允許值是多少?證明你的結論．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)從第n年初到第n＋1年初，魚群的繁殖量為，被捕撈量為，死亡量為，因此，，即，． (2)若每年年初魚群總量保持不變，則恒等于，，從而由式得恒等于0，，所以，即．因為，所以a＞b． 猜測：當且僅當a＞b且時，每年年初魚群的總量保持不變． (3)若b的值使得，，由，，，，特別地，有． 即而，所以， 由此猜測b的最大允許值是1． 下證當，b=1時，都有，． ①當n=1時，結論顯然成立； ②假設當n=k時結論成立，即； 則當n=k＋1時，， 又因為， 所以．故當n=k＋1時結論也成立． 由①、②可知，對于任意，都有． 綜上所述，為保證對任意都有，，則捕撈強度b的最大允許值是1．

提示：

剖析：本題考查數列、概念、歸納猜想的能力以及數學歸納法等綜合知識．