Question

【題目】如圖在側棱垂直底面的四棱柱中，，，.，,，分別是的中點，為與的交點.

（I） 求線段，的長度；

（II）證明：平面；

（III）求與平面所成的角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1) ;(2)詳見解析;(3) .

【解析】

試題分析:(1) 在中，由勾股定理求得的長度, 在矩形中，,利用三角形相似求出和;(2) 因為，所以，又因為，由線面垂直的判定定理可得，,再根據勾股定理計算得出,由線面垂直的判定定理即可證明;(3) 連結，由（II）知平面，所以是與平面所成的角. 在直角中,求出的正弦值即與平面所成角的正弦值.

試題解析:

（I）由題知，在中，，所以.

又在矩形中，，所以，

所以，同理.

（II）因為，所以，

又因為，，，，

所以，.

由（I）知，，，，所以，

所以.又，，，

所以平面.

（III）連結，由（II）知平面，

所以是與平面所成的角.

由（I）及題知，在直角中，，，

得，所以與平面所成角的正弦值是.