(本題滿分14分)已知函數(
為常數,
).
(Ⅰ)當時,求函數
在
處的切線方程;
(Ⅱ)當在
處取得極值時,若關于
的方程
在[0,2]上恰有兩個不相等的實數根,求實數
的取值范圍;
(Ⅲ)若對任意的,總存在
,使不等式
成立,求實數
的取值范圍.
(Ⅰ) ;(Ⅱ)
;(Ⅲ)實數
的取值范圍為
.
【解析】本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用
(1)利用導數的幾何意義,表示切線的斜率和點的坐標,進而得到切線方程。
(2)求解導數,運用導數的符號與函數單調性的關系得到極值的判定。并解決問題。
(3)當時,
,
∴ f(x) 在上單調遞增,最大值為
,于是問題等價于:
對任意的,不等式
恒成立
運用導數來完成恒成立的證明。
解:.
(Ⅰ)當a=1時,,∴
,∴切線方程為
;
(Ⅱ)由已知,得且
,∴
,∵a>0,∴a=2.∴
,f(x)在
上單調遞減,在
上單調遞增
又,∴
(8分)
(Ⅲ)當時,
,
∴ f(x) 在上單調遞增,最大值為
,于是問題等價于:
對任意的,不等式
恒成立.(10分)
記,(
)
則,
當時,
,∴
在區間
上遞減,此時,
,
∴時不可能使
恒成立,故必有
,∵
若,可知
在區間
上遞增,在此區間上有g(a)>g(1)=0滿足要求;
若,可知
在區間
上遞減,在此區間上,有
,與
恒成立矛盾,
所以實數的取值范圍為
.(14分)
科目:高中數學 來源:2012-2013學年吉林省高三第一次月考文科數學試卷(解析版) 題型:解答題
(本題滿分14分)已知函數
(1)若,求x的值;
(2)若對于
恒成立,求實數m的取值范圍.
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科目:高中數學 來源:2010-2011學年廣東省惠州市高三第三次調研考試數學理卷 題型:解答題
(本題滿分14分)
已知橢圓:
的離心率為
,過坐標原點
且斜率為
的直線
與
相交于
、
,
.
⑴求、
的值;
⑵若動圓與橢圓
和直線
都沒有公共點,試求
的取值范圍.
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科目:高中數學 來源:2010-2011學年廣東省惠州市高三第三次調研考試數學理卷 題型:解答題
((本題滿分14分)
已知梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC =∠BAD =,AB=BC=2AD=4,E、F分別是AB、CD上的點,EF∥BC,AE = x,G是BC的中點.沿EF將梯形ABCD翻折,使平面AEFD⊥平面EBCF
(如圖).
(1)當x=2時,求證:BD⊥EG ;
(2)若以F、B、C、D為頂點的三棱錐的體積記為,
求的最大值;
(3)當取得最大值時,求二面角D-BF-C的余弦值.
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