Question

設函數f(x)＝a－2－sin²x＋2(a－1)sinxcosx－5cos²x(a∈R，x∈R)．

(1)若a＝2＋1，試說明y＝f(x)的圖像可以由y＝sinx(x∈R)的圖像經過怎樣的平移和伸縮變換得到？

(2)是否存在常數a使得不等式|f(x)|≤6對任意的x∈R成立？若成立，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

f(x)＝a－2－＋(a－1)sin2x－(1＋cos2x)＝(a－1)sin2x－2cos2x＋a－5 　　(1)因為a＝2＋1，所以 　　f(x)＝2sin2x－2cos2x＋2－4＝4sin(2x－)＋2－4＝4sin[2(x－)]＋2－4 　　所以由y＝sinx圖像上的每一點的橫坐標縮短為原來的(縱坐標不變)得到y＝sin2x的圖像，再將所得的圖像上的每一點的縱坐標伸長到原來的4倍(橫坐標不變)，得到y＝4sin2x的圖像，又向右平移個單位，得到y＝4sin[2(x－)]的圖像，最后再向下平移4－2個單位，即能得到f(x)的圖像． 　　(2)f(x)＝sin(2x－)＋a－5，依題意，x∈R時，－6≤f(x)≤6， 所以即 　　解得1≤a≤，此即所求的a的取值范圍．