Question

【題目】設函數f（x）=ex（2x﹣3）﹣ax2+2ax+b，若函數 f（x）存在兩個極值點x1 ， x2 ， 且極小值點x1大于極大值點x2 ， 則實數a的取值范圍是（ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】A
【解析】解：函數f（x）=ex（2x﹣3）﹣ax2+2ax+b，求導f′（x）=ex（2x﹣1）﹣2ax+2a， 由題意可知函數 f（x）存在兩個極值點x1 ， x2 ， 則y=ex（2x﹣1）與y=2a（x﹣1）有兩個交點，
則設切點（x0 ， （2x0﹣1）），y=2a（x﹣1）恒過點（1，0）
求導y′=ex（2x+1），令y′＞0時，解得x＞﹣ ，當y′＜0，解得x＜﹣ ，
∴y=ex（2x﹣1）在（﹣∞，﹣ ）單調遞減，在（﹣ ，+∞）單調遞增；
則y=ex（2x﹣1）在（x0 ， （2x0﹣1））處的切線斜率k= （2x0+1），
則 （2x0+1）= ，整理得：2x02﹣3x0=1，解得：x0=0，或x0= ，
∴當x0=0時，則k=1，即2a=1，a= ，
x0= ，則k=4 ，2a=4 ，a=2 ，
要使y=ex（2x﹣1）與y=2a（x﹣1）有兩個交點，
則0＜a＜ 或a＞2 ，
當0＜a＜ ，f′（x）=0，則y=ex（2x﹣1）與y=2a（x﹣1）有兩個交點x1 ， x2 ，
令由函數圖象可知（﹣∞，x2）單調遞增，在（x2 ， x1）單調遞減，在（x1 ， +∞）單調遞增，
則當x=x2時，取極大值，當x=x1取極小值，且x2＜x1 ，
滿足極小值點x1大于極大值點x2 ，
同理可知：極小值點x1大于極大值點x2 ，
∴實數a的取值范圍（0， ）∪（2 ，+∞），
故選A．

【考點精析】認真審題，首先需要了解函數的極值與導數(求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值)．