Question

已知四棱錐P-ABCD的正視圖是一個底邊長為4、腰長為3的等腰三角形，圖1、圖2分別是四棱錐P-ABCD的側視圖和俯視圖．
（1）求證：AD⊥PC；
（2）求四棱錐P-ABCD的側面PAB的面積．

Answer 1

分析：（1）根據三視圖形狀可得側面PDC⊥平面ABCD，結合矩形ABCD中AD⊥CD，由面面垂直的性質得AD⊥側面PDC．再根據線面垂直的性質，結合PC?側面PDC可證出AD⊥PC；
（2）取CD的中點E，連接PE、AE．由三視圖的形狀并結合面面垂直、線面垂直的性質，算出PA=PB=

13

，最后在△PAB中利用正、余弦定理可算出△PAB的面積，即得側面PAB的面積．

解答：解：（1）根據三視圖，可得側面PDC⊥平面ABCD
∵AD⊥CD，側面PDC∩平面ABCD=CD，AD?平面ABCD
∴AD⊥側面PDC
∵PC?側面PDC，∴AD⊥PC；
（2）取CD的中點E，連接PE、AE，
∵根據三視圖，得△PCD中，PD=PC=3，CD=4
∴PE=

32-22

=

5

Rt△ADE中，AD=DE=2，可得AE=

AD2+DE2

=2

2

∵側面PDC⊥平面ABCD，側面PDC∩平面ABCD=CD，
PE?側面PDC，PE⊥CD
∴PE⊥平面ABCD，結合AE?平面ABCD，可得AE⊥PE
因此，Rt△PAE中，PA=

AE2+PE2

=

13

．同理可得PB=

13

∴△PAB中，cos∠APB=

PA2+PB2-AB2

2PA•PB

=

5

13

由同角三角函數的關系，得sin∠APB=

1-( 5 13 )2

=

12

13

∴S_△PAB=

1

2

PA•PBsin∠APB=

1

2

×

13

×

13

×

12

13

=6
即側面PAB的面積為6．

點評：本題給出三視圖，要求我們證明線線垂直并求側面三角形的面積，著重考查了三視圖求面積和面面垂直、線面垂直的性質定理等知識，屬于中檔題．