Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長都為2，D為CC₁中點.

(I)求證：AB₁⊥平面A₁BD;

(II)求二面角A-A₁D-B的大小.

Answer 1

本小題主要考查直線與平面的位置關系，三面角的大小等知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力

解法一：（I）取BC中點O，連結AO.

∵△ABC為正三角形，∴AO⊥BC.

∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面ABC⊥平面BCC₁B_1,

∴AO⊥平面BCC₁B₁,

連結B₁O，在正方形BB₁C₁C中,O、D分別為BC、CC₁的中點，

∴B₁O⊥BD,

∴AB₁⊥BD.

在正方形ABB₁A₁中，AB₁⊥A₁B，

∴AB₁⊥平面A₁BD.

(II)設AB₁與A₁B交于點C，在平面A₁BD中，作GF⊥A₁D于F，連結AF，由（I）得AB₁⊥平面A₁BD，

∴AF⊥A₁D

∴∠AFG為二面A-A₁D-B的平面角.

在△AA₁D中，由等面積法可求得AF＝，

又∵AG＝=,

∴sin∠AFG=,

所以二面角A-A₁D-B的大小為arcsin.

解法二：（I）取BC中點O，連結AO.

∵△ABC為正三角形，∴AO⊥BC.

∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面ABC⊥平面BCC₁B₁，

∴AO⊥平面BCC₁B₁.

取B₁C₁中點O₁，以O為原點，的方向為x、y、z軸的正方向建立空間直角坐標系，則B（1,0,0）,D (-1,1,0),A₁(0,2,),A(0,0,),B₁(1,2,0),

∴

∵

∴⊥⊥,

∴AB₁⊥平面A₁BD.

(II)設平面A₁AD的法向量為n=(x,y,z).

∵n⊥⊥,

∴    ∵   ∴

令z=1得a=(-,0,1)為平面A₁AD的一個法向量.

由（I）知AB₁⊥A₁BD.

∴為平面A₁BD的法向量.

cos<n_，>===－.

∴二面角A-A₁D-B的大小為arccos.