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【題目】已知菱形的對角線，交于點，，，將沿折起，使點到達點位置，滿足為等邊三角形.

（1）求證：；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）見證明；（2）

【解析】

（1）根據菱形對角線互相垂直，可知翻折后，，根據線面垂直判定定理可得平面，利用線面垂直性質定理證得結論；（2）根據線面垂直判定定理可證得面，則以為原點可建立起空間直角坐標系，利用空間向量法可求得二面角的余弦值.

（1）證明：由已知，翻折后，，

平面，又平面

（2）在菱形中，，

，

取中點，連結，則

又面 .

又

面，

以為原點，為軸，為軸，過點做的平行線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系

則，，，，

設平面的法向量為

則，令，則，

平面的一個法向量為.

又平面的一個法向量

∴

又二面角為銳角

二面角的余弦值為

練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】近年，國家逐步推行全新的高考制度.新高考不再分文理科，某省采用3+3模式，其中語文、數學、外語三科為必考科目，滿分各150分，另外考生還要依據想考取的高校及專業的要求，結合自己的興趣愛好等因素，在思想政治、歷史、地理、物理、化學、生物6門科目中自選3門參加考試（6選3），每科目滿分100分.為了應對新高考，某高中從高一年級1000名學生（其中男生550人，女生450人）中，采用分層抽樣的方法從中抽取名學生進行調查.

（1）已知抽取的名學生中含男生55人，求的值；

（2）學校計劃在高一上學期開設選修中的“物理”和“地理”兩個科目，為了了解學生對這兩個科目的選課情況，對在（1）的條件下抽取到的名學生進行問卷調查（假定每名學生在這兩個科目中必須選擇一個科目且只能選擇一個科目），下表是根據調查結果得到的列聯表. 請將列聯表補充完整，并判斷是否有 99%的把握認為選擇科目與性別有關？說明你的理由；

（3）在抽取到的女生中按（2）中的選課情況進行分層抽樣，從中抽出9名女生，再從這9名女生中抽取4人，設這4人中選擇“地理”的人數為，求的分布列及期望.

附：，

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知定義域為的函數（常數）.

（1）若，求函數的單調區間；

（2）若恒成立，求實數的最大整數值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知斜率為1的直線與橢圓交于，兩點，且線段的中點為，橢圓的上頂點為.

（1）求橢圓的離心率；

（2）設直線與橢圓交于兩點，若直線與的斜率之和為2，證明：過定點.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，橢圓經過點，離心率為. 已知過點的直線與橢圓交于兩點．

（1）求橢圓的方程；

（2）試問軸上是否存在定點，使得為定值．若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知過拋物線的焦點，斜率為的直線交拋物線于兩點，且.

(1)求該拋物線的方程；

(2) 為坐標原點，為拋物線上一點，若，求的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】己知函數是函數值不恒為零的奇函數，函數．

（1）求實數的值，并判斷函數的單調性；

（2）解關于的不等式．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某工廠產生的廢氣經過過濾后排放，規定排放時污染物的殘留含量不得超過1%．已知在過濾過程中的污染物的殘留數量P（單位：毫克/升）與過濾時間t（單位：小時）之間的函數關系為：（為正常數，為原污染物數量）.若前5個小時廢氣中的污染物被過濾掉了90%，那么要能夠按規定排放廢氣，至少還需要過濾（ ）

A. 小時B. 小時C. 5小時D. 小時

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】“2019年”是一個重要的時間節點——中華人民共和國成立70周年，和全面建成小康社會的 關鍵之年.70年披荊斬棘，70年砥礪奮進，70年風雨兼程，70年滄桑巨變，勤勞勇敢的中國 人用自己的雙手創造了一項項輝煌的成績，取得了舉世矚目的成就.趁此良機，李明在天貓網店銷售“新中國成立70周年紀念冊”，每本紀念冊進價4元，物流費、管理費共為元/本，預計當每本紀念冊的售價為元（時，月銷售量為千本.

（I）求月利潤（千元）與每本紀念冊的售價X的函數關系式，并注明定義域：

（II）當為何值時，月利潤最大？并求出最大月利潤.

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