Question

已知函數f（x）=ax+lnx，a∈R．
（1）討論y=f（x）的單調性；（2）若定義在區間D上的函數y=g（x）對于區間D上的任意兩個值x₁、x₂總有不等式

1

2

[g(x1)+g(x2)]≥g(

x1+x2

2

)成立，則稱函數y=g（x）為區間D上的“凹函數”．
試證明：當a=-1時，g(x)=|f(x)|+

1

x

為“凹函數”．

Answer 1

分析：（1）利用導數求函數的單調性，應注意函數的定義域，同時進行合理分類；（2）新定義關鍵是理解“凹函數”的定義，然后驗證所求函數滿足新定義．

解答：解：（1）當a=0時，函數f（x）=lnx在（0，+∞）上是增函數；     …（1分）
由已知，x∈（0，+∞），f′(x)=a+

1

x

=

ax+1

x

，…（3分）
當a＞0時，f'（x）＞0，函數f（x）在（0，+∞）上是增函數；      …（4分）
當a＜0時，解f′(x)=

ax+1

x

＞0得0＜x＜-

1

a

，解f'（x）＜0得x＞-

1

a

，
所以函數f（x）在(0 ， -

1

a

)上是增函數，在(-

1

a

 ， +∞)上是減函數．…（5分）
綜上，當a≥0時，函數f（x）在（0，+∞）上是增函數；
當a＜0時，函數f（x）在(0 ， -

1

a

)上是增函數，在(-

1

a

 ， +∞)上是減函數．
（2）當a=-1時，由（1）知f（x）在（0，+∞）上的最大值為f（1）=-1，即f（x）＜0恒成立．
所以g(x)=|f(x)|+

1

x

=-f(x)+

1

x

=

1

x

+x-lnx，x∈（0，+∞）．…（6分）
設x₁，x₂∈（0，+∞），
計算

1

2

[g(x1)+g(x2)]=

1

2

(

1

x1

+x1-lnx1+

1

x2

+x2-lnx2)=

x1+x2

2x1x2

+

x1+x2

2

-ln

x1x2

，g(

x1+x2

2

)=

2

x1+x2

+

x1+x2

2

-ln

x1+x2

2

，
因為

x1+x2

2

≥

x1x2

，所以ln

x1+x2

2

≥ln

x1x2

，-ln

x1+x2

2

≤-ln

x1x2

，…（8分）

2

x1+x2

-

x1+x2

2x1x2

=

4x1x2-(x1+x2)2

2x1x2(x1+x2)

=

-(x1-x2)2

2x1x2(x1+x2)

≤0，所以

2

x1+x2

≤

x1+x2

2x1x2

，…（10分）
所以

1

2

[g(x1)+g(x2)]≥g(

x1+x2

2

)，即當a=-1時，g(x)=|f(x)|+

1

x

為“凹函數”．

點評：本題是一道創新型題，屬于難度系數較大的題目．近幾年的高考命題，由知識立意向能力立意轉化，強化創新意識的考查，設計了一些“對新穎的信息、情景和設問，選擇有效的方法和手段收集信息，綜合與靈活地應用所學數學知識、思想和方法，進行獨立思考、探索和研究，提出解決問題的思路，創造性的解決問題”的創新題．