Question

【題目】

在四棱錐中，底面是正方形，側棱底面，，點是的中點，作交于.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求證：平面；

（Ⅲ）求二面角的大小.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析;（Ⅱ）詳見解析;（Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）連接，與交于，連接，由中位線可得，根據線面平行的判定定理可證得平面；

（Ⅱ）由底面可證得，又因為是正方形，根據線面垂直判定定理可證得平面，從而可得，根據等腰三角形中線即為高線可得，根據線面垂直判定定理可證得平面，從而可得，又，可得平面；

（Ⅲ）以點為坐標原點建立空間直角坐標系.，設，可得各點的坐標，從而可得各向量坐標，根據向量垂直數量積為0，可得面和面的法向量.根據數量積公式可得兩法向量夾角的余弦值，可得兩法向量夾角，兩法向量夾角與二面角相等或互補，由觀察可知所求二面角為銳角.

解：（Ⅰ）連接，與交于，連接

∵是正方形，∴則為的中點

∵是的中點，

∴

∵平面，平面

∴平面

（Ⅱ）∵底面，平面

∴

∵，

∴平面

∵平面，

∴

∵是的中點，

∴

∵

∴平面

而平面，

∴

又，

∴平面

（Ⅲ）如圖建立空間直角坐標系，點為坐標原點，設.

則.

設平面的法向量是，則，

所以，，即

設平面的法向量是，則

所以，，即.

∴，即面角的大小為.