Question

（2013•江蘇一模）（1）山水城市鎮江有“三山”--金山、焦山、北固山，一位游客游覽這三個景點的概率都是0.5，且該游客是否游覽這三個景點相互獨立，用ξ表示這位游客游覽的景點數和沒有游覽的景點數差的絕對值，求ξ的分布列和數學期望；
（2）某城市有n（n為奇數，n≥3）個景點，一位游客游覽每個景點的概率都是0.5，且該游客是否游覽這n個景點相互獨立，用ξ表示這位游客游覽的景點數和沒有游覽的景點數差的絕對值，求ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（1）游客游覽景點個數為0，1，2，3，ξ可能取值為：1，3，ξ=1表示游覽一個景點或游覽兩個景點，ξ=3表示游覽景點數為0或游覽了三個景點，根據n次獨立重復試驗中事件發生k的概率公式即可求得P（ξ=1），P（ξ=3），進而得到分布列和期望；
（2）當n=2k+1，k∈N^*時，游客游覽景點個數可能為：0，1，2，…，2k+1，則ξ可能取值為：1，3，5，…，2k+1．根據獨立重復試驗中事件A發生k次的概率計算公式求出ξ取各值是的概率，表示出Eξ=（2k+1-0）×2×(

1

2

)2k+1

C

0 2k+1

+[（2k+1-1）-1]×2×

C

1 2k+1

(

1

2

)2k+1+[（2k+1-2）-2]×2×

C

2 2k+1

(

1

2

)2k+1+…+[2k+1-k）-k]×2×

C

k 2k+1

(

1

2

)2k+1，分組后利用性質

iC

i n

=n

C

i-1 n-1

（i=1，2，3，…，n）對上式即可進行化簡，最后再換為n即可；

解答：解：（1）游客游覽景點個數為0，1，2，3，ξ可能取值為：1，3，
P（ξ=1）=

C

2 3

(

1

2

)2(1-

1

2

)+

C

1 3

(

1

2

)1(1-

1

2

)2=2

C

1 3

(

1

2

)3=

3

4

，
P（ξ=3）=

C

3 3

(

1

2

)3+

C

3 3

(

1

2

)3=2

C

3 3

(

1

2

)3=

1

4

，
ξ的分布列為：
 
 所以Eξ=1×

3

4

+3×

1

4

=

3

2

．
（2）當n=2k+1，k∈N^*時，游客游覽景點個數可能為：0，1，2，…，2k+1，
ξ可能取值為：1，3，5，…，2k+1．
P（ξ=1）=

C

k 2k+1

(

1

2

)k(1-

1

2

)k+1+

C

k+1 2k+1

(

1

2

)k+1(1-

1

2

)k=2×(

1

2

)2k+1

C

k 2k+1

；
P（ξ=3）=

C

k-1 2k+1

(

1

2

)k-1(1-

1

2

)k+2+

C

k+2 2k+1

(

1

2

)k+2(1-

1

2

)k-1=2×(

1

2

)2k+1

C

k-1 2k+1

；
…
P（ξ=2k+1）=

C

0 2k+1

(

1

2

)0(1-

1

2

)2k+1+

C

2k+1 2k+1

(

1

2

)2k+1(1-

1

2

)0=2×(

1

2

)2k+1

C

0 2k+1

，
∴ξ的分布列為：

∴Eξ=（2k+1-0）×2×(

1

2

)2k+1

C

0 2k+1

+[（2k+1-1）-1]×2×

C

1 2k+1

(

1

2

)2k+1+[（2k+1-2）-2]×2×

C

2 2k+1

(

1

2

)2k+1+…+[2k+1-k）-k]×2×

C

k 2k+1

(

1

2

)2k+1
=2×(

1

2

)2k+1{[（2k+1）

C

0 2k+1

+2k

C

1 2k+1

+（2k-1）

C

2 2k+1

+…+（2k+1-k）

C

k 2k+1

]-[（0×

C

0 2k+1

+1

×C

1 2k+1

+2×

C

2 2k+1

+…+k

•C

k 2k+1

]}
=2×(

1

2

)2k+1{[（2k+1）×

C

2k+1 2k+1

+2k×

C

2k 2k+1

+（2k-1）×

C

2k-1 2k+1

+…+（k+1）

×C

k+1 2k+1

]-[0×

C

0 2k+1

+1×

C

1 2k+1

+…+k

•C

k 2k+1

]}，
∵

iC

i n

=n

C

i-1 n-1

（i=1，2，3，…，n），
Eξ=2×(

1

2

)2k+1{（2k+1）×[

C

2k 2k

+C

2k-1 2k

+…

+C

k 2k

]-（2k+1）×[

C

0 2k

+C

1 2k

+…

+C

k-1 2k

]}
=2×(

1

2

)2k+1×（2k+1）×[（

C

2k 2k

+C

2k-1 2k

+…

+C

k 2k

）-（

C

0 2k

+C

1 2k

+…+

C

k-1 2k

）]
=2×(

1

2

)2k+1×（2k+1）×

C

k 2k

=

n 2n-1 C

n-1 2 n-1

．
答：ξ的數學期望Eξ為

n 2n-1 C

n-1 2 n-1

．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列、期望，考查n次獨立重復試驗中事件A發生k的概率計算公式，考查組合數性質應用，考查學生綜合運用知識分析解決問題的能力，本題綜合性強，能力要求高，屬難題．