Question

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，∠B=30°，c=6，記b=f（a），若函數g（a）=f（a）-k（k是常數）只有一個零點，則實數k的取值范圍是（ ）
A．{k|0＜k≤3或k=6}
B．{k|3≤k≤6}
C．{k|k≥6}
D．{k|k≥6或k=3}

Answer 1

【答案】分析：由余弦定理可得 b=f（a）的解析式，利用二次函數的性質可得f（a）的最小值為3，f（a）的增區間為[3，+∞），
減區間為（0，3），且f（0）趨于6，由此可得實數k的取值范圍．
解答：解：在△ABC中，∠B=30°，c=6，記b=f（a），
而由余弦定理可得 b== 
=≥3，即f（a）的最小值為3．
由于函數g（a）=f（a）-k（k是常數）只有一個零點，故方函數y=f（a）與直線y=k有唯一交點，
由于函數f（a）的增區間為[3，+∞），減區間為（0，3），且f（0）趨于6，
結合函數b=f（a）的圖象可得 k≥6，或k=3，
故選D．
點評：本題主要考查函數的零點與方程的根的關系，二次函數的性質應用，體現了轉化的數學思想，屬于基礎題．