Question

【題目】已知橢圓： 的長軸長為6，且橢圓與圓： 的公共弦長為.

（1）求橢圓的方程.

（2）過點作斜率為的直線與橢圓交于兩點， ，試判斷在軸上是否存在點，使得為以為底邊的等腰三角形.若存在，求出點的橫坐標的取值范圍，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）由長軸長可得值，公共弦長恰為圓直徑，可知橢圓經過點，利用待定系數法可得橢圓方程；（2）可令直線的解析式為，設， 的中點為，將直線方程與橢圓方程聯立，消去，利用根與系數的關系可得，由等腰三角形中，可得，得出中．由此可得點的橫坐標的范圍．

試題解析：（1）由題意可得，所以.由橢圓與圓： 的公共弦長為，恰為圓的直徑，可得橢圓經過點，所以，解得.所以橢圓的方程為.

（2）直線的解析式為，設， 的中點為.假設存在點，使得為以為底邊的等腰三角形，則.由得，故，所以， .因為，所以，即，所以.當時， ，所以；當時， ，所以.

綜上所述，在軸上存在滿足題目條件的點，且點的橫坐標的取值范圍為.