Question

設t≠0，點P(t，0)是函數f(x)＝x³＋ax與g(x)＝bx²＋c的圖象的一公共點，兩函數的圖象在點P處有相同的切線．

(1)用t表示a、b、c；

(2)若函數y＝f(x)－g(x)在(－1，3)上單調遞減，求t的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解析：(1)因為函數f(x)、g(x)的圖象都過點(t，0)，所以f(t)＝0， 　　即t3＋at＝0．因為t≠0，所以a＝－t2． 　　g(t)＝0，即bt2＋c＝0，所以c＝ab． 　　又因為f(x)、g(x)在點(t，0)處有相同的切線，所以(t)＝(t)．而(t)＝3x2＋a，(x)＝2bx，所以3t2＋a＝2bt． 　　將a＝－t2，代入上式得b＝t． 　　因此c＝ab＝－t3，故a＝－t2，b＝t，c＝－t3． 　　(2)方法一：y＝f(x)－g(x)＝x3－t2x－tx2＋t3，＝3x2－2tx－t2＝(3x＋t)(x－t)． 　　當＝(3x＋t)(x－t)＜0時，函數y＝f(x)－g(x)單調遞減． 　　由＜0，若t＞0，則＜x＜t；若t＜0，則t＜x＜． 　　由題意，函數y＝f(x)－g(x)在(－1，3)上單調遞減，則(－1，3)(，t)或(－1，3)(t，)． 　　所以t≥3或≥3，即t≤－9或t≥3． 　　又當－9＜t＜3時，函數y＝f(x)－g(x)在(－1，3)上單調遞減． 　　所以t的取值范圍為(－∞，－9]∪[3，＋∞)． 　　方法二：y＝f(x)－g(x)＝x3－t2x－tx2＋t3，＝3x2－2tx－t2＝(3x＋t)(x－t) 　　因為函數y＝f(x)－g(x)在(－1，3)上單調遞減，且＝(3x＋t)(x－t)是(－1，3)上的拋物線． 　　所以即解得t≤－9或t≥3． 　　所以t的取值范圍為(－∞，－9)∪[3，＋∞)．