Question

已知F（c，0）是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦點，以坐標原點O為圓心，a為半徑作圓P，過F垂直于x軸的直線與圓P交于A，B兩點，過點A作圓P的切線交x軸于點M．若直線l過點M且垂直于x軸，則直線l的方程為

 

；若|OA|=|AM|，則橢圓的離心率等于

 

．

Answer 1

分析：先根據條件得到圓的方程，求和交點A（c，b）設出過A的直線方程設為：y-b=k（x-c），再由該直線與圓相切求得斜率k，得到直線方程為：y-b=-

c

b

（x-c），令y=0，得x=

a2

c

此時，M（

a2

c

，0），再由|OA|=|AM|，用兩點間距離公式求得a，c關系，解得離心率．

解答：解：根據題意知：圓的方程為：x²+y²=a²F（c，0），
∵AB⊥X
∴A（c，b）
∴過A的直線方程設為：y-b=k（x-c）
因為該直線與圓相切
∴d=

|b-kc|

1+k2

=a
解得：k=-

c

b

所以直線方程為：y-b=-

c

b

（x-c）
令y=0，得x=

a2

c

此時，M（

a2

c

，0）
又∵|OA|=|AM|，
∴

(c- a2 c )2+b2

=a
∴e=

c

a

=

2

2

故答案為：x=

a2

c

，

2

2

點評：本題主要考查橢圓的幾何性質，主要涉及了圓的方程，直線與圓相切，橢圓的準線方程，離心率的求法．