Question

【題目】在平面直角坐標系中，動圓經過點并且與直線相切，設動圓圓心的軌跡為曲線．

（1）如果直線過點（0，4），且和曲線只有一個公共點，求直線的方程；

（2）已知不經過原點的直線與曲線相交于、兩點，判斷命題“如果，那么直線經過點”是真命題還是假命題，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）直線的方程為、、；（2）見解析

【解析】

（1）根據拋物線的定義，求得曲線C的方程，之后分直線的斜率存在與不存在兩種情況，根據直線與拋物線有一個公共點，得出結果；

（2）根據圖形的對稱性，得出對應的定點在x軸上，設出直線的方程，利用韋達定理，根據向量垂直向量的數量積等于零，求得對應的結果.

（1）根據題意，可知曲線C的方程為，

①直線的斜率不存在，即的方程為，符合題意，

②直線的斜率存在，設，

與拋物線方程聯立得，

（�。�，符合題意，此時的方程為，

（ⅱ），則，解得，此時的方程為，

綜上，符合題意的直線的方程為、、；

（2）由圖形的對稱性，若直線過定點，則該定點必定落在軸上，

設定點坐標為、、、，

，則，

∵，∴，即，

解得或（舍），

∴命題為真命題．