Question

【題目】已知橢圓的左右焦點分別為，且.過橢圓的右焦點作長軸的垂線與橢圓，在第一象限交于點，且滿足.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若矩形的四條邊均與橢圓相切，求該矩形面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）易知，設，，根據勾股定理計算得到，得到橢圓方程.

（2）考慮矩形邊與坐標軸平行和不平行兩種情況，聯立方程組根據得到和的關系，計算邊長得到面積表達式，根據均值不等式計算得到答案.

（1）由，可知橢圓半焦距，

設，因為，所以，

在△中，，即，所以，

所以，解得，所以橢圓的標準方程為.

（2）記矩形面積為，當矩形一邊與坐標軸平行時，易知.

當矩形的邊與坐標軸不平行時，根據對稱性，設其中一邊所在直線方程為，

則對邊所在直線方程為，

另一邊所在的直線方程為，則對邊所在直線方程為，

聯立，得，

由題意知，整理得，

矩形的一邊長為，同理，矩形的另一邊長為，

，

因為，所以，所以(當且僅當時等號成立)，

所以，則，所以.

綜上所述，該矩形面積的取值范圍為.