Question

已知DABC的三個內角A，B，C對應的邊長分別為a，b，c，向量

m

=(sinB，1-cosB)與向量

n

=(2，0)夾角θ余弦值為

1

2

．
（1）求角B的大�。�
（2）△ABC外接圓半徑為1，求a+c范圍．

Answer 1

分析：（1）先化簡兩個向量，再利用向量的數量積及向量的模公式求出兩向量的夾角余弦，據向量夾角的范圍求出角B
（2）利用三角形的內角和為180°求出A+C，利用兩角和的正弦公式求出sinA+sinB，利用正弦定理求出a+c．

解答：解：（1）設兩向量的夾角為θ
∵

m

=2sin

B

2

(cos

B

2

，sin

B

2

)， 

n

=2(1，0)
∴

m

•

n

=4sin

B

2

cos

B

2

，|

m

|  =2sin

B

2

，|

n

|  =2，
∴cosθ=

m • n

| m | •| n |

=cos

B

2

由cos

B

2

=

1

2

，0＜θ＜π，得

B

2

=

π

3

，
即B=

2π

3

（2）∵B=

2π

3

，∴A+C=

π

3

∴sinA+sinC=sinA+sin(

π

3

-A)
=sinA+sin

π

3

cosA-cos

π

3

sinA
=

1

2

sinA+

3

2

cosA=sin(

π

3

+A)
又0＜A＜

π

3

，∴

π

3

＜

π

3

+A＜

2π

3

，
∴

3

2

＜sin(

π

3

+A)≤1
所以sinA+sinC∈(

3

2

，1]
又a+c=2RsinA+2RsinC=2（sinA+sinC），
所以a+c∈(

3

，2]．

點評：本題考查向量的數量積求向量的夾角、三角形的內角和、三角形的正弦定理．是中檔題．