Question

如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，∥，，平面⊥底面，為的中點，是棱上的點，，，．

（Ⅰ）求證：平面⊥平面；

（Ⅱ）若為棱的中點，求異面直線與所成角的余弦值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）異面直線與所成角的余弦值為

【解析】

試題分析：（Ⅰ）證兩平面垂直，先證一個面內的一條直線垂直另一個平面.

在本題中可證得：平面，也可證：⊥平面．

（Ⅱ）法一、由（Ⅰ）題可得：直線、、兩兩垂直，故可以為原點建立空間直角坐標系，利用空間向量求異面直線與所成角的余弦值．

法二、可過作的平行線，從而將異面直線與所成角轉化相交直線所成的角.

試題解析：（Ⅰ）法一：為的中點，

又即

∴四邊形為平行四邊形，

      即

又∵平面平面   且平面平面

平面

又平面，∴平面平面                     6分

法二：，，為的中點，∴且.

∴四邊形為平行四邊形，∴

∵  ∴即

∵   ∴ 

∵ ，

∴⊥平面．

∵ 平面，

∴平面⊥平面．                6分

（Ⅱ）∵，為的中點，

∴．

∵平面平面   且平面平面

∴平面．                                           8分

（注:不證明PQ⊥平面ABCD直接建系扣1分）

如圖，以為原點建立空間直角坐標系．

則，，，，

∵是中點，∴   

∴

設異面直線與所成角為

則=

∴異面直線與所成角的余弦值為                      14分

法二、連接交于點，連接，則

所以就是異面直線與所成角

由（1）知平面，所以進而

考點：1、面面垂直的判定與性質；2、線面垂直的判定；3、異面直線所成的角；4、空間向量的運算