Question

【題目】設函數f（x）=（x﹣a）ex ， a∈R． （Ⅰ）當a=1時，試求f（x）的單調增區間；
（Ⅱ）試求f（x）在[1，2]上的最大值；
（Ⅲ）當a=1時，求證：對于x∈[﹣5，+∞）， 恒成立．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由f（x）=（x﹣a）ex得f'（x）=（x﹣a+1）ex．

當a=1時，f'（x）=xex，令f'（x）＞0，得x＞0，

所以f（x）的單調增區間為（0，+∞）．

（Ⅱ）令f'（x）=0得x=a﹣1．

所以當a﹣1≤1時，x∈[1，2]時f'（x）≥0恒成立，f（x）單調遞增；

當a﹣1≥2時，x∈[1，2]時f'（x）≤0恒成立，f（x）單調遞減；

當1＜a﹣1＜2時，x∈[1，a﹣1）時f'（x）≤0，f（x）單調遞減；

x∈（a﹣1，2）時f'（x）＞0，f（x）單調遞增．

綜上，無論a為何值，當x∈[1，2]時，f（x）最大值都為f（1）或f（2）．

f（1）=（1﹣a）e，f（2）=（2﹣a）e2，

f（1）﹣f（2）=（1﹣a）e﹣（2﹣a）e2=（e2﹣e）a﹣（2e2﹣e）．

所以當 時，f（1）﹣f（2）≥0，f（x）max=f（1）=（1﹣a）e．

當 時，f（1）﹣f（2）＜0， ．

（Ⅲ）令h（x）=f（x）+x，所以h'（x）=xex+1．

所以h'（x）=（x+1）ex．

令h'（x）=（x+1）ex=0，解得x=﹣1，

所以當x∈[﹣5，﹣1），h'（x）＜0，h'（x）單調遞減；

當x∈[﹣1，+∞），h'（x）＞0，h'（x）單調遞增．

所以當x=﹣1時， ．

所以函數h（x）在[﹣5，+∞）單調遞增．

所以 ．

所以x∈[﹣5，+∞）， 恒成立

【解析】（Ⅰ）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；（Ⅱ）通過討論a的范圍，求出函數的單調區間，求出f（x）的最大值是f（1）或f（2），通過作差求出滿足f（1）或f（2）最大時a的范圍，從而求出f（x）的最大值；（Ⅲ）令h（x）=f（x）+x，根據函數的單調性求出h（x）的最小值，從而證明結論即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．