Question

如圖，已知兩個正四棱錐P-ABCD與Q-ABCD的高分別為1和2，AB=4，
（Ⅰ）證明PQ⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求異面直線AQ與PB所成的角；
（Ⅲ）求點P到平面QAD的距離。

Answer 1

解：（Ⅰ）連結AC、BD，設AC∩BD=O， 由P-ABCD與Q-ABCD都是正四棱錐， 所以PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD， 從而P、O、Q三點在一條直線上， 所以PQ⊥平面ABCD； （Ⅱ）由題設知，ABCD是正方形，所以AC⊥BD， 由（Ⅰ），PQ⊥平面ABCD， 故可以分別以直線CA、DB、QP為x軸，y軸，z軸 建立空間直角坐標系（如右圖）， 由題設條件，相關各點的坐標分別是P（0，0，1）， Q（0，0，-2），， 所以， 于是， 從而異面直線AQ與PB所成的角是； （Ⅲ）由（Ⅱ）， 點D的坐標是（0，，0）， ， 設是平面QAD的一個法向量， 由， 取x=1，得，　 所以點P到平面QAD的距離 。