Question

若（

x

+

1

2 4 x

）ⁿ（n∈N^*）展開式中前三項系數成等差數列，
（1）求展開式中第4項的系數和二項式系數；
（2）求展開式中的所有有理項．

Answer 1

分析：（1）依題意，可求得n的值，再利用二項展開式的通項公式T_r+1=

C

r n

•2^-r•x

n

2

-

3

4

r即可求得展開式中第4項的系數和二項式系數；
（2）由其通項T_r+1=

C

r 8

•2^-r•x4-

3

4

r（0≤r≤8）中，令4-

3

4

r為整數，即可求得相應的有理項．

解答：解：（1）∵（

x

+

1

2 4 x

）ⁿ（n∈N^*）展開式的通項公式T_r+1=

C

r n

•2^-r•x

n

2

-

3

4

r，
∴前三項系數分別為：1，

n

2

，

n(n-1)

8

，
∵1，

n

2

，

n(n-1)

8

成等差數列，
∴n=1+

n(n-1)

8

，
解的n=8或n=1（舍去），
∴展開式中第4項的系數為

C

3 8

•2^-3=56×

1

8

=7，展開式中第4項的二項式系數為

C

3 8

=

8×7×6

3×2×1

=56；
（2）∵n=8，
∴T_r+1=

C

r 8

•2^-r•x4-

3

4

r（0≤r≤8），
當r=0，4，8，時，4-

3

4

r為整數，
∴展開式中的所有有理項為：T₁=x⁴；
T₅=

C

4 8

•2^-4•x=

35

8

x；T₉=2^-8x^-2=

1

256x2

．

點評：本題考查二項式定理的應用，考查等差數列的性質，考查方程思想與綜合運算能力，屬于中檔題．