Question

直線與拋物線:交于兩點，點是拋物線準線上的一點，
記，其中為拋物線的頂點.
（1）當與平行時，________；
（2）給出下列命題：
①，不是等邊三角形；
②且，使得與垂直；
③無論點在準線上如何運動，總成立.
其中，所有正確命題的序號是___.

Answer 1

;①②③

解析試題分析：由拋物線方程知，焦點，準線為。
（1）當與平行時，因為有公共點，所以三點共線。因為點在準線上，點在直線上，所以關于點對稱，所以與是相反向量，所以,此時。（2）將代入得，所以，假設能是等邊三角形，則此時點只能是準線與軸交點。但此時。所以假設不成立，即不可能是等邊三角形，故①正確；不妨設，設則，，當與垂直時，，解得，即。因為，所以且，解得。故②正確；因為，且，所以。故③正確。綜上可得正確的序號是①②③。
考點：拋物線方程及基本性質，平面向量的平行、垂直及向量坐標的運算法則。