Question

【題目】已知函數（，為自然對數的底數）.

（1）若，求函數的圖像在點處的切線方程；

（2）在上單調遞增，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）首先求導，求出切點坐標和斜率，再利用點斜式即可求出切線方程.

（2）首先根據題意得到恒成立，令，得到，即，再分類討論的范圍證明在上單調遞增即可.

（1）當時，，

所以，切點為，

所以切線方程為，即

（2）

所以

因為在上單調遞增，則恒成立，

令，則，得

下面證當時，在上單調遞增.

構造函數

當時，時，，時，

得在單調遞減，在單調遞增.

，即恒成立，

整理得：恒成立，

即：恒成立，所以在上單調遞增.

當時，顯然在上單調遞增.

當時，時，，時，

得在單調遞減，在單調遞增.

，即：恒成立，

整理得：恒成立，

從而恒成立，所以在上單調遞增.

綜上，實數的取值范圍為