Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓的左、右焦點分別為F1，F2，點A在橢圓E上且在第一象限內，AF2⊥F1F2，直線AF1與橢圓E相交于另一點B．

（1）求△AF1F2的周長；

（2）在x軸上任取一點P，直線AP與橢圓E的右準線相交于點Q，求的最小值；

（3）設點M在橢圓E上，記△OAB與△MAB的面積分別為S1，S2，若S2=3S1，求點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）6；（2）-4；（3）或.

【解析】

（1）根據橢圓定義可得，從而可求出的周長；

（2）設，根據點在橢圓上，且在第一象限，，求出，根據準線方程得點坐標，再根據向量坐標公式，結合二次函數性質即可出最小值；

（3）設出設，點到直線的距離為，由點到直線的距離與，可推出，根據點到直線的距離公式，以及滿足橢圓方程，解方程組即可求得坐標.

（1）∵橢圓的方程為

∴,

由橢圓定義可得：.

∴的周長為

（2）設，根據題意可得.

∵點在橢圓上，且在第一象限，

∴

∵準線方程為

∴

∴，當且僅當時取等號.

∴的最小值為.

（3）設，點到直線的距離為.

∵，

∴直線的方程為

∵點到直線的距離為，

∴

∴

∴①

∵②

∴聯立①②解得，.

∴或.