Question

【題目】設函數.

（1）求函數的單調區間和極值；

（2）若函數在區間上存在唯一零點，求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）分別在和兩種情況下根據導函數的正負得到單調性，根據極值的定義可求得對應的極值；

（2）當時，分別在上存在唯一零點和為零點兩種情況下，結合零點存在定理得到的范圍；當時，結合函數的單調性，可知，通過討論的位置確定對應端點值的符號，從而得到不等式組，解不等式組求得結果；綜合兩種情況可得最終結果.

（1）由題意得：.

①當時，恒成立，在上單調遞增，此時無極值；

②當時，令，解得：，

當時，；當時，，

在上單調遞減，在上單調遞增，

在處取得極小值，極小值為，無極大值.

綜上所述：當時，的單調遞增區間為，無單調遞減區間，無極值；

當時，的單調遞減區間為，單調遞增區間為，極小值為，無極大值.

（2）①當時，由（1）知，在上單調遞增，

若在上存在唯一零點，則，即，

解得：.

若是在上的唯一零點，則，解得：（舍）.

②當時，由（1）知，在上單調遞減，在上單調遞增，

.

，

若在上存在唯一零點，則或或，

解得：.

綜上所述：的取值范圍為.