Question

如圖在四棱錐中，底面是菱形，,底面，是的中點，是中點。

（1）求證：∥平面；
（2）求證：平面⊥平面；
（3）求與平面所成的角。

Answer 1

解：（1）（2） 見解析
（3）直線BE與平面PAC所成的角為45⁰ 

往往有兩個中點時，考慮中位線，當兩中點不能構成中位線時，考慮構造另一個中點，組成兩對中位線�！� PA⊥平面ABCD 則PA⊥平面ABCD內所有的直線，∴ DF⊥PA，再結合四邊形ABCD是菱形，找到另一垂直條件。
（1）取PD中點為M，連ME，MF  ∵ E是PC的中點 
∴ ME是△PCD的中位線∴ MECD   ∵ F是AB中點且由于ABCD是菱形，ABCD
∴ MEFB   ∴ 四邊形MEBF是平行四邊形  …………2分
∴ BE∥MF   …………………3分
∵ BE平面PDF ,MF平面PDF  ∴ BE∥平面PDF  ………4分
（2）  ∵ PA⊥平面ABCD  DF平面ABCD   ∴ DF⊥PA……………5分
∵ 底面ABCD是菱形，∠BAD=60⁰  ∴ △DAB為正△
∵ F是AB中點  ∴ DF⊥AB   ……………6分
∵ PA、AB是平面PAB內的兩條相交直線  ∴ DF⊥平面PAB  ………7分
∵ DF平面PDF  ∴ 平面PDF⊥平面PAB  ………………8分
（3）連BD交AC與O、連EO   ∵ 底面ABCD是菱形 ∴ BO⊥AC
∵ PA⊥平面ABCD  BO平面ABCD   ∴ BO⊥PA
∵ PA、AC是平面PAC內的兩條相交直線  ∴ BO⊥平面PAC  …………9分
∴ EO是BE在平面PAC內的射影 
∴ ∠BEO是BE與平面PAC所成的角  ………………10分
∵ O是AC、BD的中點  ∴ BO=1，EO是△PAC的中位線 ∴ EO=PA=1
∴ 在直角△BEO中，tan∠BEO=="1" ∴ ∠BEO=45⁰
∴ 直線BE與平面PAC所成的角為45⁰