Question

已知關于x的方程2x2-(

3

+1)x+m=0的兩根為sinθ，cosθ，θ∈（0，2π），求：
（1）

sinθ

1-cotθ

+

cosθ

1-tanθ

的值；
（2）m的值；
（3）方程的兩根及此時θ的值．

Answer 1

分析：（1）先對原式進行化簡，通過韋達定理得出sinθ+cosθ的值代入原式即可．
（2）通過（1）中sinθ+cosθ求得的值，進而得出sinθ•cosθ，進而求出m．
（3）把m代入方程求出方程的根，即求出sinθ和cosθ的值，然后就可求出θ．

解答：解：（1）由根與系數的關系，得

sinθ+cosθ= 3 +1 2 ① sinθ•cosθ= m 2     ②

，
∴原式=

sin2θ

sinθ-cosθ

+

cos2θ

cosθ-sinθ

=

sin2θ-cos2θ

sinθ-cosθ

=sinθ+cosθ
=

3 +1

2

（2）由①平方得：1+2sinθ•cosθ=

2+ 3

2

，
sinθ•cosθ=

3

4

，即

m

2

=

3

4

，
故m=

3

2

．
（3）當2x2-(

3

+1)x+

3

2

=0，解得x1=

3

2

，x2=

1

2

，
∴

sinθ= 3 2 cosθ= 1 2

或

sinθ= 1 2 cosθ= 3 2

，
∵x∈（0，2π），
∴θ=

π

3

或

π

6

．

點評：本題主要考查切弦之間的互化問題．在與二次方程一塊考查時，利用好韋達定理．