Question

已知P是直線3x+4y+12=0上的動點，PA、PB是圓C：x²+y²-2x=0的兩條切線，A、B是切點，C是圓心，求四邊形PACB面積的最小值．

Answer 1

分析：由P在直線3x+4y+12=0上，設出P坐標，由圓方程找出圓心C坐標及半徑r，根據題意得到四邊形PACB面積等于三角形PAC面積的2倍，得出|PC|最小時，四邊形PACB面積最小，利用兩點間的距離公式表示出|PC|，利用二次函數的性質求出|PC|的最小值，即可確定出四邊形PACB面積的最小值．

解答：解：∵點P在直線3x+4y+12=0上，
∴設P（x，-3-

3

4

x），
由圓C方程變形得：（x-1）²+y²=1，即C點坐標為（1，0），
可得S_PACB=2S_PAC=|PA|•|AC|=|PA|，
∵|AP|²=|PC|²-|AC|²=|PC|²-1，
∴當|PC|最小時，|AP|最小，四邊形PACB的面積最小，
∵|PC|²=（1-x）²+（3+

3

4

x）²=

25

16

（x+

4

5

）²+9，
∴|PC|²最小為9，
則S_PACB最小為2

2

．

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，根據題意得出“當|PC|最小時，|AP|最小，四邊形PACB的面積最小”是解本題的關鍵．