Question

【題目】已知f（x）＝axex﹣lnx﹣x．

（Ⅰ）若f（x）有兩個不同的零點，求實數a的取值范圍；

（Ⅱ）已知a＝1，若對任意的x＞0，均有f（x）＞cx2﹣2x+1成立，求實數c的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）0＜a．（Ⅱ）c≤e．

【解析】

（Ⅰ）先求導，得，分兩種情況，討論函數單調性，求出最值，再結合函數有兩個不同的零點求出 的取值范圍．
（Ⅱ）因為 f（x）≥cx2-2x+1對恒成立，則，得．再證明，當時，f，對恒成立，即可．

（Ⅰ），

若a≤0，則f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上單調遞減，不合題意．

若a＞0，y＝axex在（0，+∞）上遞增，必存在唯一的x0∈（0，+∞），使得ax0e1，

此時，x∈（0，x0）時，f′（x）＜0，f（x）遞減，且當x→0+ 時，f（x）→+∞，

當x∈（x0，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）遞增，且當x→+∞時，f（x）→+∞，

故f（x）min＝f（x0）＝ax0elnx0﹣x0，

因為ax0e1，可得lna+lnx0+x0＝0，

所以f（x）max＝1+lna，

由題意得，1+lna＜0，得a∈（0，），

綜上，可得所求的取值范圍是0＜a．

（Ⅱ）因為f（x）≥cx2﹣2x+1對x＞0恒成立，

則f（1）≥c﹣2+1，得c≤e．

下證，當c≤e時，f（x）≥cx2﹣2x+1，對x＞0恒成立

事實上f（x）≥cx2﹣2x+1xex﹣lnx+x﹣1﹣cx2≥0，

注意到lnx≤x﹣1，故只需證xex﹣cx2≥0，

只需證ex≥cx，因為ex≥ex≥cx，結論得證，

綜上可知c的取值范圍是c≤e．