Question

【題目】定義：如果函數y=f（x）在定義域內給定區間[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），滿足f（x0）= ，則稱函數y=f（x）是[a，b]上的“平均值函數”，x0是它的一個均值點．例如y=|x|是[﹣2，2]上的平均值函數，0就是它的均值點．若函數f（x）=x2﹣mx﹣1是[﹣1，1]上的“平均值函數”，則實數m的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】（0,2）
【解析】解：∵函數f（x）=x2﹣mx﹣1是區間[﹣1，1]上的平均值函數，

∴關于x的方程x2﹣mx﹣1= 在（﹣1，1）內有實數根．

即x2﹣mx﹣1=﹣m在（﹣1，1）內有實數根．

即x2﹣mx+m﹣1=0，解得x=m﹣1，x=1．

又1（﹣1，1）

∴x=m﹣1必為均值點，

即﹣1＜m﹣1＜10＜m＜2．

∴所求實數m的取值范圍是（0，2）．

故答案為：（0，2）

函數f（x）=x2﹣mx﹣1是區間[﹣1，1]上的平均值函數，故有x2﹣mx﹣1= 在（﹣1，1）內有實數根，求出方程的根，讓其在（﹣1，1）內，即可求出實數m的取值范圍．