Question

定義在R上的偶函數f（x），且對任意實數x都有f（x-2）=f（x），當x∈[0，1]時，f（x）=x²，若在區間[-1，3]內，函數g（x）=f（x）-kx-k有4個零點，則實數k的取值范圍是

（0，

1

4

）

．

Answer 1

分析：由題意可得函數是周期等于2的函數，當x∈[0，1]時，f（x）=x²，可得當x∈[-1，0]時，f（x）=x²．再由函數g（x）=f（x）-kx-k有4個零點，可得函數
f（x）的圖象和直線y=kx+k=k（x+1）有4個交點，數形結合可得則實數k的取值范圍．

解答：解：由函數滿足對任意實數x都有f（x-2）=f（x），可得函數是周期等于2的函數．
再根據f（x）是偶函數，當x∈[0，1]時，f（x）=x²，可得當x∈[-1，0]時，f（x）=x²．
函數g（x）=f（x）-kx-k有4個零點，可得函數f（x）的圖象和直線y=kx+k=k（x+1）有4個交點，如圖所示：
則由題意可得，A（-1，0）、D（3，1），且 0＜k≤k_AD=

1

4

，
則實數k的取值范圍是（0，

1

4

）．

點評：本題主要考查函數的奇偶性和周期性的應用，函數的零點和方程的根的關系，體現了轉化和數形結合的數學思想，屬于中檔題．