Question

設a_n是集合2^s+2^t|0≤s＜t，s，t∈Z中所有的數從小到大排列成的數列，即a₁=3，a₂=5，a₃=6，a₄=9，a₅=10，a₆=12，…，將數列a_n各項按照上小下大、左小右大的原則寫成如下的三角形數表：
（1）寫出這個三角形數表的第五行的各數；
（2）求a₁₀₀（可用2^s+2^t的形式表示）；
（3）設b_n（n∈N*）是這個三角形數表第n行各數的和，求數列b_n的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）從左到右依次是2⁵+2⁰=33，2⁵+2¹=34，2⁵+2²=36，2⁵+2³=40，2⁵+2⁴=48．
（2）第n行有n個數，設a₁₀₀在第n行，則

n(n-1)

2

+1≤100≤

n(n+1)

2

，由此能求出a₁₀₀．
（3）依題意，b_n=（2ⁿ+2⁰）+（2ⁿ+2¹）+…+（2ⁿ+2^n-1）=（n+1）2ⁿ-1，然后由錯位相減法能得到前n項和S_n．

解答：解：（1）從左到右依次是2⁵+2⁰=33，
2⁵+2¹=34，
2⁵+2²=36，
2⁵+2³=40，
2⁵+2⁴=48．
（2）第n行有n個數，
設a₁₀₀在第n行，
則

n(n-1)

2

+1≤100≤

n(n+1)

2

，
解得n=14，
100-

n(n-1)

2

=9，
即a₁₀₀是第14行第9個數，a₁₀₀=2¹⁴+2⁸．
（3）依題意，b_n=（2ⁿ+2⁰）+（2ⁿ+2¹）+…+（2ⁿ+2^n-1）
=（n+1）2ⁿ-1，S_n=b₁+b₂+b_n-1+b_n
=（2×2¹-1）+（3×2²-1）+…+（n×2^n-1-1）+[（n+1）2ⁿ-1]
=[2×2¹+3×2²++n×2^n-1+（n+1）2ⁿ]-n，2S_n=[2×2²+3×2³++n×2ⁿ+（n+1）2ⁿ⁺¹]-2n，兩式相減，并由等比數列前n項和公式得S_n=-2×2¹-[2²+2³+…+2ⁿ]+（n+1）2ⁿ⁺¹-n
=n×（2ⁿ⁺¹-1）．

點評：（1）是將數表的排列“規律”具體運用到某一行；（2）是探討a_n和s、t的聯系；（3）從已知數列中分離或錯位相減構造出等差（等比）數列，再運用等差（等比）數列的性質求解．