Question

下面關于f（x）的判斷：
①y=f（x-2）與y=f（2-x）的圖象關于直線x=2對稱；
②若f（x）為偶函數，且f（2+x）=-f（x），則f（x）的圖象關于直線x=2對稱；
③設函數f（x）=lnx，且x₀，x₁，x₂∈（0，+∞），若x₁＜x₂，則

1

x2

＞

f(x1)-f(x2)

x1-x2

；
④函數f（x）=lnx，x₀，x₁，x₂∈（0，+∞），存在x₀∈（x₁，x₂），（x₁＜₂），使得

1

x0

=

f(x1)-f(x2)

x1-x2

．
其中正確的判斷是

①②④

（把你認為正確的判斷都填上）

Answer 1

分析：根據導數的幾何意義可知f′（x₁）=

1

x1

表示在x₁處的切線的斜率，而

f(x1)-f(x2)

x1-x2

 表示橫坐標為x₁與x₂的兩點的斜率，結合圖象進行求解即可．

解答：解：對于①：∵函數y=f（x-2）圖象關于直線x=2對稱的
函數解析式為y=f[（4-x）-2]=f（2-x）
故函數y=f（x-2）和y=f（2-x）的圖象關于直線x=2對稱正確，故①正確．
對于②：由f（2+x）=-f（x），可得f（4+x）=f（x），即f（4+x）=f（-x），
故函數的圖象關于直線x=2對稱，故②正確．
對于③f′（x）=

1

x

，f′（x₁）=

1

x1

表示在x₁處的切線的斜率．
而

f(x1)-f(x2)

x1-x2

 表示橫坐標為x₁與x₂的兩點的斜率．
若0＜x₁＜x₂，由圖象考查直線的斜率滿足

1

x2

＜

f(x1)-f(x2)

x1-x2

，故③不正確；
對于④，（0＜x₁＜x₂），設橫坐標為x₁與x₂的兩點分別為A、B，
則與AB平行的切線的斜率為

1

x0

，故存在x₀∈（x₁，x₂），
能夠使得

1

x0

=

f(x1)-f(x2)

x1-x2

，故④正確，
故答案為 ①②④．

點評：本題主要考查了導數的幾何意義以及函數的圖象等有關知識，屬于中檔題．