Question

設函數f(x)=loga

x-2

x+2

，x∈[m，n]是單調減函數，值域為[1+log_a（n-1），1+log_a（m-1）]．
（1）求實數a的取值范圍；
（2）求證：2＜m＜4＜n；
（3）若函數g(x)=1+loga(x-1)-loga

x-2

x+2

，x∈[m，n]的最大值為A，求證：0＜A＜1．

Answer 1

分析：（1）充分利用函數與方程的思想，利用函數的單調性和最值將問題轉化為方程在某區間上有解，從而得到參數a的范圍．
（2）利用二次函數根的分布規律獲得參數m、n的分布情況，從而得到對應的不等關系．
（3）利用導數判斷單調性的知識從函數單調性入手得到A的取值范圍．

解答：解：（1）由題意，得loga

m-2

m+2

=1+loga(m-1)，所以

m-2 m+2 ＞0 m-1＞0

解得m＞2．又loga

n-2

n+2

=1+loga(n-1)，所以
m，n是關于x的方程loga

x-2

x+2

=1+loga(x-1)在區間(2，+∞)內的兩個
不相等的實根，
即m，n是關于x的方程ax²+（a-1）x+2（1-a）=0在區間（2，+∞）內的兩個
不相等的實根，
即

a＞0且a≠1 △=(a-1)2+8a(a-1)＞0 - a-1 2a ＞2 4a+2(a-1)+2(1-a)＞0

解得0＜a＜

1

9

．(6分)
此時，由于函數y=

x-2

x+2

=1-

4

x+2

在區間[m，n](m＞2)上是單調增函數，
且y＞0，結合函數y=log_ax在區間（0，+∞）內是單調減函數，
知函數f(x)=loga

x-2

x+2

，x∈[m，n]是單調減函數，
值域為[1+log_a（n-1），1+log_a（m-1）]．
故實數a的取值范圍是區間(0，

1

9

)．（8分）
（2）令h（x）=ax²+（a-1）x+2（1-a）
．由于h（2）=4a+2（a-1）+2（1-a）=4a＞0，
h（4）=16a+4（a-1）+2（1-a）=18a-2＜0，
所以2＜m＜4＜n．（12分）
（3）因為函數g(x)=1+loga(x-1)-loga

x-2

x+2

=1+loga

(x-1)(x+2)

x-2

，所以，當x＞2時，
g′(x)=

1

lna

•

x-2

(x+2)(x-1)

•

(2x+1)(x-2)-(x2+x-2)

(x-2)2

=

1

lna

•

x(x-4)

(x+2)(x-1)(x-2)

，
因為lna＜0，所以當x∈[m，4）時，g'（x）＞0，即g（x）在區間[m，4]上是單調增函數；
當x∈（4，+∞）時，g'（x）＜0，即g（x）在區間[4，n]上是單調減函數；
故A=g(4)=1+loga

(4-1)(4+2)

4-2

=1+loga9．
由0＜a＜

1

9

，得-1＜loga9＜0，
所以0＜A＜1．（16分）

點評：本題充分考查了對數函數的單調性、對數函數的值域與最值以及導數知識的綜合應用．在題中函數與方程的思想、分類討論的思想、轉化的思想、數形結合的思想都得到了深入的考查．