Question

已知實數a、b滿足a-2b+3≥0，且使得函數無極值，則的取值范圍為（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：先求導數f′（x），根據函數f（x）無極值可得f′（x）=0至多有一實根，從而可得關于a，b的不等式，連同a-2b+3≥0可作出滿足條件的點（a，b）構成的區域，的幾何意義為兩點（a，b），（-2，-1）間連線的斜率，利用線性規劃知識即可求得斜率的最大值及最小值．
解答：解：f′（x）=x²+2ax+b，
因為函數f（x）無極值，所以有△=4a²-4b≤0，即a²≤b．
又a-2b+3≥0，則滿足條件的點（a，b）構成的區域如下陰影所示：
由解得a=-1或，則兩交點為（-1，1），（，），
的幾何意義為兩點（a，b），（-2，-1）間連線的斜率，
則斜率最大值為=2，
設過點（-2，-1）的切線方程為b+1=k（a+2）①，a²=b②，由①②消b得a²-ka-2k+1=0，則△=k²-4（-2k+1）=0，解得k=-4+2，-4-2（舍），
即斜率的最小值為-4+2．
所以的取值范圍為[2-4，2]．
故選C．
點評：本題考查函數在某點取得極值的條件及線性規劃知識，考查學生綜合運用知識分析問題的能力，解決本題的關鍵是對的幾何意義的理解及正確轉化，本題屬中檔題．