設函數f(x)=(ax2-bx)ex的圖象與直線ex+y=0相切于點A,且點A的橫坐標為1.
(1)求a,b的值;
(2)求函數f(x)的單調區間,并指出在每個區間上的增減性.
分析:(1)欲求a,b的值,利用在x=1處的切線斜率,只須求出其斜率的值,故先利用導數求出在x=1處的導函數值,再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率,最后列式即得.從而問題解決.
(2)利用導數研究函數的單調區間,先求出f(x)的導數,根據f′(x)>0求得的區間是單調增區間,f′(x)<0求得的區間是單調減區間.
解答:解:(1)f′(x)=(2ax-b)e
x+(ax
2-bx)e
x=[ax
2+(2a-b)x-b]e
x(2分)
由于f(x)的圖象與直線ex+y=0相切于點A,點A的橫坐標為1,則A(1,-e)
所以
(4分)
即
解得a=1,b=2.(7分)
(2)由a=1,b=2,得f(x)=(x
2-2x)e
x,定義域為(-∞,+∞),
f′(x)=(x2-2)ex=(x-)(x+)ex.(9分)
令f'(x)>0,解得
x<-或
x>;
令f'(x)<0,解得
-<x<.
故函數f(x)在區間
(-∞,-),(,+∞)上分別單調遞增,
在區間
(-,)上單調遞減.(13分)
點評:本小題主要考查直線的斜率、導數的幾何意義、利用導數研究曲線上某點切線方程、利用導數研究函數的單調性等基礎知識,考查運算求解能力.屬于基礎題.