Question

【題目】已知的展開式中第五項的系數與第三項的系數的比是10∶1.

(1)求展開式中各項系數的和；

(2)求展開式中含的項；

(3)求展開式中系數最大的項和二項式系數最大的項．

Answer 1

【答案】(1)1；(2)－16.(3)答案見解析.

【解析】試題分析：

(1)利用賦值法，令 可得展開式中各項系數的和是1.

(2)首先寫出通項公式，據此可得展開式中含的項是－16.

(3)由題意求解不等式即可求得系數最大的項和二項式系數最大的項分別為T7＝1 792和T5＝1 120.

試題解析：

由題意知，第五項系數為，第三項的系數為，則有，化簡得n2－5n－24＝0，解得n＝8或n＝－3(舍去)．

(1)令x＝1得各項系數的和為(1－2)8＝1.

(2)通項公式＝ ＝ ，

令－2k＝，則k＝1，故展開式中含的項為T2＝－16.

(3)設展開式中的第k項，第k＋1項，第k＋2項的系數絕對值分別為

， ， ，

若第k＋1項的系數絕對值最大，則解得5.

又T6的系數為負，∴系數最大的項為T7＝1 792.

由n＝8知第5項二項式系數最大，此時T5＝1 120.