Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，，分別是橢圓的左，右焦點，點P是橢圓E上一點，滿足軸，．

（1）求橢圓E的離心率；

（2）過點的直線l與橢圓E交于兩點A，B，若在橢圓B上存在點Q，使得四邊形OAQB為平行四邊形，求直線l的斜率．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根據，，，建立的方程即可求解（2）斜率不存在時不符合題意，斜率存在時利用平行四邊形的對角線互相平分，求出AB 中點，可得出Q坐標，利用點在橢圓上上求出斜率.

（1）由軸，得，所以．

因為，，所以，

即，得，

解得或（舍），所以．

（2）因為，所以，

橢圓E方程可化為．

若直線l斜率不存在，直線，與橢圓E只有一個交點，不成立．

（法一）設直線l方程為，，，AB中點，

因為直線l過點，所以，

聯立方程組，得．

，得．

由韋達定理，，，

得，，即點．

因為平行四邊形OAQB，所以點，

因為點Q在橢圓上，所以，

化簡得．

由，得，解得．

（法二）設直線l的方程為，，，AB中點，

由，得，

，得．

由韋達定理，，，

得，，即點．

因為平行四邊形OAQB，所以點，

因為點Q在橢圓上，所以，

化簡得，解得．