【題目】有一橢圓形溜冰場，長軸長100米，短軸長為60米，現要在這溜冰場上劃定一個各頂點都在溜冰場邊界上的矩形區域，且使這個區域的面積最大，應把這個矩形的頂點定位在何處？并求出此矩形的周長.
【答案】在溜冰場橢圓的短軸兩側分別畫一條與短軸平行且與短軸相距
的直線，這兩條直線與橢圓的交點就是所劃定的矩形區域的頂點，矩形的周長為
.
【解析】
分別以橢圓的長軸.短軸所在的直線為
軸和
軸建立坐標系，根據長軸長和短軸長求得橢圓方程.設矩形
的頂點
，且
在第一象限，將點坐標代入橢圓方程，求得
的關系式.求得矩形的面積
，利用配方法求得
的最大值，也即求得矩形的面積
的最大值，并求得此時對應點的坐標，從而求得此時矩形的周長，以及矩形四個頂點的位置.
分別以橢圓的長軸.短軸所在的直線為軸和軸建立坐標系，設矩形的各個頂點都在橢圓上，由題意
，
，則橢圓方程為
，
設頂點
，
，
，則
，
所以
，
矩形的面積，
又因為
=
，
=
.
因此當
時，達到最大值，同時也達到最大值，
此時
，
，矩形的周長為
，
所以在溜冰場橢圓的短軸兩側分別畫一條與短軸平行且與短軸相距的直線，這兩條直線與橢圓的交點就是所劃定的矩形區域的頂點，這個矩形的周長為.
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設
，若數列
滿足：對所有
，
，且當
時，
，則稱為“
數列”，設
R，函數
，數列
滿足
，
（
）.
（1）若
，而是
數列，求
的值；
（2）設
，證明：存在，使得是
數列，但對任意，都不是
數列；
（3）設
，證明：對任意，都存在，使得是數列.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某電子科技公司由于產品采用最新技術，銷售額不斷增長，最近
個季度的銷售額數據統計如下表（其中
表示
年第一季度，以此類推）：
季度 |
|
|
|
|
|
季度編號x |
|
|
|
|
|
銷售額y（百萬元） |
|
|
|
|
|
（1）公司市場部從中任選
個季度的數據進行對比分析，求這個季度的銷售額都超過
千萬元的概率；
（2）求
關于
的線性回歸方程，并預測該公司
的銷售額.
附：線性回歸方程：
其中
，
參考數據：
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓的中心是坐標原點
，它的短軸長為
，一個焦點為
，一個定點
，且
，過點
的直線與橢圓相交于兩點
.
.
（1）求橢圓的方程及離心率.
（2）如果以
為直徑的圓過原點，求直線
的方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，已知圓
經過
， 
兩點，且圓心在直線
上．
（1）求圓
的標準方程；
（2）過圓
內一點
作兩條相互垂直的弦
，當
時，求四邊形
的面積．
（3）設直線
與圓
相交于
兩點， 
，且
的面積為
，求直線
的方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了調查一款電視機的使用時間，研究人員對該款電視機進行了相應的測試，將得到的數據統計如下圖所示：
并對不同年齡層的市民對這款電視機的購買意愿作出調查，得到的數據如下表所示：
愿意購買這款電視機 | 不愿意購買這款電視機 | 總計 | |
40歲以上 | 800 | 1000 | |
40歲以下 | 600 | ||
總計 | 1200 |
（1）根據圖中的數據，試估計該款電視機的平均使用時間；
（2）根據表中數據，判斷是否有99.9%的把握認為“愿意購買該款電視機”與“市民的年齡”有關；
（3）若按照電視機的使用時間進行分層抽樣，從使用時間在
和
的電視機中抽取5臺，再從這5臺中隨機抽取2臺進行配件檢測，求被抽取的2臺電視機的使用時間都在內的概率．
附： | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知正方體
的棱長為
，點E，F，G分別為棱AB，
，
的中點，下列結論中，正確結論的序號是___________.
①過E，F，G三點作正方體的截面，所得截面為正六邊形；
②
平面EFG；
③
平面
；
④異面直線EF與
所成角的正切值為
；
⑤四面體
的體積等于
.
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