如圖，設拋物線
（
）的準線與
軸交于
，焦點為
；以、為焦點，離心率
的橢圓
與拋物線
在軸上方的一個交點為
.
（1）當
時，求橢圓的方程；
（2）在（1）的條件下，直線
經過橢圓的右焦點，與拋物線交于
、
，如果以線段
為直徑作圓，試判斷點與圓的位置關系，并說明理由；
（3）是否存在實數
，使得
的邊長是連續的自然數，若存在，求出這樣的實數；若不存在，請說明理由．
（1）
（2）即點可在圓內，圓上或圓外
（3）
時，能使的邊長是連續的自然數
解析解：∵的右焦點
∴橢圓的半焦距
，又，
∴橢圓的長半軸的長
，短半軸的長
. 橢圓方程為
.
（1）當時，故橢圓方程為， 3分
（2）依題意設直線的方程為：
，
聯立
得點的坐標為
.
將代入
得
.
設
、
，由韋達定理得
，
.
又
，
.
∵，于是
的值可能小于零，等于零，大于零。
即點可在圓內，圓上或圓外. ………………………………9分
（3）假設存在滿足條件的實數， 由
解得：
.
∴
，
，又
.
即的邊長分別是
、
、
. ∴時，能使的邊長是連續的自然數。 14分
考點：橢圓的方程，直線與橢圓的位置關系
點評：解決該試題的關鍵是熟練的運用橢圓的簡單幾何性質來求解參數a,b,c的值，得到方程，并利用聯立方程組的思想求解弦長，拋物線的定義是解決的關鍵點。屬于基礎題。
小學生10分鐘口算測試100分系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知雙曲線
與橢圓
有相同的焦點，點
、
分別是橢圓的右、右頂點，若橢圓經過點
．
（1）求橢圓的方程；
（2）已知
是橢圓的右焦點，以
為直徑的圓記為
，過點
引圓的切線，求此切線的方程；
（3）設
為直線
上的點，
是圓上的任意一點，是否存在定點
，使得
？若存在，求出定點的坐標；若不存在，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
某同學用《幾何畫板》研究拋物線的性質：打開《幾何畫板》軟件，繪制某拋物線
，在拋物線上任意畫一個點
，度量點的坐標
，如圖．
（Ⅰ）拖動點，發現當
時，
，試求拋物線
的方程；
（Ⅱ）設拋物線的頂點為
，焦點為
，構造直線
交拋物線于不同兩點、
，構造直線
、
分別交準線于
、
兩點，構造直線
、
．經觀察得：沿著拋物線，無論怎樣拖動點，恒有
.請你證明這一結論．
（Ⅲ）為進一步研究該拋物線的性質，某同學進行了下面的嘗試：在（Ⅱ）中，把“焦點”改變為其它“定點
”，其余條件不變，發現“與不再平行”．是否可以適當更改（Ⅱ）中的其它條件，使得仍有“”成立？如果可以，請寫出相應的正確命題；否則，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，設拋物線方程為
，
為直線
上任意一點，過引拋物線的切線，切點分別為
．
（1）求證：
三點的橫坐標成等差數列；
（2）已知當點的坐標為
時，
．求此時拋物線的方程。
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
（本題滿分14分）
如圖，已知橢圓
=1(a＞b＞0)，F1、F2分別為橢圓的左、右焦點，A為橢圓的上的頂點，直線AF2交橢圓于另 一點B.
(1)若∠F1AB=90°，求橢圓的離心率；
(2)若
＝2
，
·
＝
，求橢圓的方程．
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．
在
的切線能否與曲線
相切？并說明理由；
求
的最大值；
，求證：
．
為拋物線
的焦點，點
為拋物線內一定點，點
為拋物線上一動點，
最小值為8．
與拋物線交于
、
兩點，求
的面積．
為拋物線
的焦點，
為拋物線上任意一點，已
為半徑畫圓，與
軸負半軸交于
點，試判斷過
的直線與拋物線的位置關系，并證明。