Question

設各項均為正數的數列的前n項和為S_n,已知，且對一切都成立．
（1）若λ = 1，求數列的通項公式；
（2）求λ的值，使數列是等差數列．

Answer 1

（1）an=2n-1（2）λ=0.

解析試題分析：（1）本題屬于“已知求”,利用化簡關系式. 因為，所以先分離與，即，這是類等比，利用疊乘法得到，再利用，消去得.求數列{an}通項公式時，需討論當n = 1時是否滿足的情形.（2）解答本題需注意邏輯關系，由數列是等差數列得λ = 0，這是一個必要條件，還需驗證其充分性，即λ = 0時，數列是等差數列.這可類似（1）的解答過程.
試題解析：解：（1）若λ = 1，則，．
又∵， ∴， 2分
∴， 
化簡，得．① 4分
∴當時，．②
② -①，得，∴（）． 6分
∵當n = 1時， ，∴n = 1時上式也成立，
∴數列{an}是首項為1，公比為2的等比數列， an = 2n-1（）． 8分
（2）令n = 1，得．令n = 2，得． 10分
要使數列是等差數列，必須有，解得λ = 0． 11分
當λ = 0時，，且．
當n≥2時，，
整理，得，， 13分
從而，
化簡，得，所以 15分
綜上所述，（），
所以λ = 0時，數列是等差數列． 16分
考點：已知求