Question

甲、乙兩個箱子中裝有大小相同的小球，甲箱中有2個紅球和2個黑球，乙箱中裝有2個黑球和3個紅球，現從甲箱和乙箱中各取一個小球并且交換．
（1）求交換后甲箱中剛好有兩個黑球的概率．
（2）設交換后甲箱中黑球的個數為ξ，求ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（1）事件“交換后甲盒中恰有2個黑球”可以分解為①取出的兩個球都是黑球；②取出的兩個球都是紅球，因此按這兩種情況分類討論分別求出相應的概率，最后用概率的加法公式，即可得出所要求的概率；
（2）ξ的可能取值為1，2，3，分別求出P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），由此能求出ξ的分布列和數學期望．

解答：解：甲乙兩盒各取一個球交換后，甲盒中恰有2個黑球有下面幾種情況：
①取出的兩個球都是黑球，則甲盒恰好有2個黑球的事件記為A₁，
則P（A₁）=

C 1 2 C 1 2

C 1 4 C 1 5

=

1

5

．
②取出的兩個球都是紅球，則此時甲盒中恰有2個黑球的事件記為A₂，
則P（A₂）=

C 1 2 • C 1 3

C 1 4 • C 1 5

=

3

10

．（6分）
故P₁=P（A₁）+P（A₂）=

1

5

+

3

10

=

1

2

．
（2）ξ的可能取值為1，2，3，
P（ξ=1）=

C 1 2 C 1 3

C 1 4 C 1 5

=

3

10

，
P（ξ=2）=

1

2

，
P（ξ=3）=

C 1 2 C 1 2

C 1 4 C 1 5

=

1

5

．
∴ξ的分布列為：

ξ	1	2	3
P	3 10	1 2	1 5

∴Eξ=1×

3

10

+2×

1

2

+3×

1

5

=

19

10

．

點評：本題著重考查了等可能事件的概率、離散型隨機變量及其分布列和離散型隨機變量的期望與方差等知識點，屬于中檔題．請同學們注意解題過程中事件分解的思路和公式的正確使用．